数える作業の設計

漏れない・被らない

できるようになること

• 確率計算において「正しく数えること」が土台になる理由を説明できる
• 数え漏れが起きやすい典型パターンを指摘できる
• 数え被りが起きやすい典型パターンを指摘できる

なぜ確率計算の前にこの話をするか

詳しくは別の単元で紹介しますが、確率の式そのものは実はとても単純です。

条件に当てはまる結果の総数 ÷ 起こりうる結果の総数

つまり、分子・分母の結果の総数を正しく数えてさえいれば、あとは割り算をするだけです。 言い換えると、正しく数えることが確率計算において最も重要になります。

この単元では、数え間違いが起きにくい形に整えるための設計手順をまとめます。 ポイントは漏れなく被りなくです。

数える作業の設計：3ステップ

Step 0：まず「何を1つの結果とするか」を決める

「数える → 割る」をするために、まず何を1つの結果として扱うかを決めます。 ここが曖昧だと、分子・分母の数え方が途中で変わってしまいます。 （詳しくは「試行と結果」「標本空間」の単元を参照してください。）

Step 1：全体を数え切れているか（漏れない）

数えるべき結果が抜けると、分子も分母もずれてしまい、正確に数えられません。

よくある漏れのパターン：

• 境界の漏れ：「3以下」に3を入れ忘れる（境界チェック）
• 「少なくとも1回」の漏れ：1回だけのケースが抜ける
• 場合分けの抜け：「男が多い／女が多い」だけだと同数が落ちる

回避するために確認すること：

• 境界（端）を確認する：0回／最小／最大／同点／「少なくとも」など
• 場合分けをしたら、この分け方で全体が埋まっているかを確認する
• 代表例を1つずつ当てはめて、どこに分類されるかを確認する

Step 2：同じ結果を2回数えていないか（被らない）

同じ結果が二重に数えられると、数が増えてしまい正確に数えられません。

よくある被りのパターン：

• 「偶数または3以下」で2を二重に数える（共通部分）
• 「Aの場合」「Bの場合」に分けたが、実はAかつBがある（場合分けの重なり）
• 「順序あり／なし」を途中で混ぜる（ルール変更）

回避するために確認すること：

• 場合分けが互いに重ならない（排反）設計になっているかを確認する
• 「または」で足すとき、重なり（共通部分）があるかを確認する
• 「順序あり／なし」を途中で混ぜていないかを確認する

まとめ

数える作業を進めるときは、次の2点を確認します。

• 漏れ：全体を数え切れているか（境界・例外・場合分けの抜け）
• 重複：同じ結果を2回数えていないか（場合分けの重なり・共通部分）

この2点を意識して数える形に整えてから、「数える → 割る」の計算に進みます。