確率の定義（等確率モデル）

「数える → 割る」が成立する前提

できるようになること

• 等確率モデルの意味と前提を説明できる
• 等確率モデルにおける確率の定義式を使って確率を計算できる
• 等確率として扱えない標本空間の例を挙げ、なぜ「数える → 割る」が使えないかを説明できる

なぜ「数える → 割る」が成立するのか

サイコロを1回振るとき、「3以下が出る確率」は多くの人が

• 条件に合うのが（1, 2, 3）の3通り
• 全体（1, 2, 3, 4, 5, 6）が6通り
• 3/6 = 1/2

と考えます。

この考え方が成立しているのは、暗黙に、どの目も同じ確率で起きるという前提を置いているからです。

教科書では、こういう状況を「同様に確からしい」と表現します。 この単元では、「同様に確からしい」ことを前提にして確率を計算するモデルを「等確率モデル」（equally likely model）という言葉で整理します。

等確率モデルとは

標本空間を $\Omega$ とします。 等確率モデルとは、標本空間の各結果 $\omega \in \Omega$ が、

すべて同じ確率で起こる（同様に確からしい）

とみなして計算するモデルです。

確率の定義（等確率モデル）

等確率モデルでは、事象 $A$（$A \subseteq \Omega$）の確率を次の式で定義します。

$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$

ここで $|A|$ は $A$ に含まれる結果の数、$|\Omega|$ は全体の結果の数です。

「同様に確からしい」という前提のもとで確率を定義している、という点がポイントです。

標本空間の選び方で「同様に確からしい」が変わる

同じ現象でも、標本空間の取り方によって、同様に確からしい（等確率として扱える）かどうかが変わります。

サイコロを2回振る例でみていきましょう。

(A) 順序つきの組を結果にする

標本空間を

$\Omega = \{(i, j) \mid i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$

とします。このとき $|\Omega| = 36$ です。 通常は、各 $(i, j)$ を同様に確からしい（等確率）として扱えます。

(B) 合計を結果にする

標本空間を

$\Omega = \{2, 3, \dots, 12\}$

とします。このとき $|\Omega| = 11$ です。 ただし、この $\Omega$ は同様に確からしくありません。

• 2 は (1,1) の1通り
• 7 は (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) の6通り

つまり $\Omega = \{2, 3, \cdots, 12\}$ を標本空間にして、

$P(\text{合計が7}) = \dfrac{1}{11}$

のように「数える → 割る」をそのまま適用すると、正確な確率を計算できません。 計算するためには、各要素に対して「起こりやすさ」を紐づける必要があります。

まとめ

教科書の「同様に確からしい」は、「等確率モデル」という前提を置くことと同じ意味です。

等確率として扱えない場合、「数える → 割る」で確率を計算できません。 標本空間を設計するとき、各要素が等確率かどうかを必ず確認してください。