確率の基本性質

確率が必ず満たす性質

できるようになること

• 確率の4つの基本性質を説明できる
• 包含関係にある事象の確率の大小を判断できる
• 余事象の確率の公式を使って計算できる

確率はどのような性質を持つか

早速ですが問題です。

Q1. 確率が最大になるのは、どんなときでしょうか。反対に、確率が最小になるのは、どんなときでしょうか。

もう一問です。

Q2. $A \subseteq B$ のとき、$P(A)$ と $P(B)$ の大小関係はどうなるでしょうか。（例：サイコロで「3以下」を $A$、「4以下」を $B$ として考えてみてください）

この2つの問いは、確率の基本的な性質と直結しています。 この単元では、確率が満たすべき基本ルールを整理します。

最大と最小：全事象と空事象

確率が最大になるのは、「必ず起きる」ときです。 確率が最小になるのは、「絶対に起きない」ときです。

確率の言葉では、それを次の2つで表します。

$P(\Omega) = 1, \quad P(\emptyset) = 0$

$\Omega$：起こりうる結果の全体＝必ず起こる（例：サイコロで1〜6のいずれかが出る） $\emptyset$：どの結果も含まない事象＝絶対に起きない（例：サイコロで7が出る）

確率の範囲

確率はどんな事象 $A$ でも、

$0 \leq P(A) \leq 1$

を満たします。

等確率モデルでは $P(A) = |A| / |\Omega|$ でした。 $|A|$ は結果の個数なので $0 \leq |A| \leq |\Omega|$ が成り立ちます。 両辺を $|\Omega|$ で割ると、

$0 \leq P(A) \leq 1$

が導かれます。

包含関係：A が B に含まれるとき

$A \subseteq B$ とは、「$A$ が起きるときは必ず $B$ も起きる」という意味です。 このとき $A$ の結果は $B$ の結果の一部なので、$|A| \leq |B|$ が成り立ちます。 両辺を $|\Omega|$ で割ると、

$A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$

となります。

余事象の確率

事象 $A$ が起きないことを、余事象 $A^c$ と書きます。 余事象の確率は次の式で計算できます。

$P(A^c) = 1 - P(A)$

理由はシンプルで、$\Omega$ 全体は「$A$ が起きる場合」と「$A$ が起きない場合」に分かれ、

$|A^c| = |\Omega| - |A|$

が成り立つからです。両辺を $|\Omega|$ で割ると、

$P(A^c) = 1 - P(A)$

が導かれます。

まとめ

この単元では確率の基本的な性質として4つを学びました。

• $0 \leq P(A) \leq 1$
• $P(\Omega) = 1$、$P(\emptyset) = 0$
• $A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$
• $P(A^c) = 1 - P(A)$