確率変数

結果を「値」に変換して、事象に確率を割り当てる

できるようになること

• 確率変数を「結果を値に変換するルール」として説明できる
• $X$、$X = 3$、$\{X = 3\}$、$3$ の違いを説明できる
• 同じ試行から複数の確率変数を定義し、それぞれの確率を計算できる

確率変数は「値」ではなく「ルール」

確率とは、ある事象が起こる割合を表します。変数とは、値が固定されていないことを意味します。

では確率変数とは何でしょうか。

確率変数（random variable）は、結果 $\omega$ を $X(\omega)$ という値に変換するルール です。 さらに $X(\omega) = x$ となる結果の集まり（事象）$\{\omega \mid X(\omega) = x\}$ に対して確率を割り当てます。

例えばサイコロを1回振るとき、結果は 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかです。 この結果から、複数の確率変数を作ることができます。

• $X$：出た目（そのまま値にする）
• $Y$：偶数なら1、奇数なら0（別の値に変換する）

同じ試行でも、どのルールで値に変換するかを変えれば、確率変数は変わります。 この単元では、$X$、$X=3$、$\{X=3\}$、$3$ を混同せずに説明できるようになることを目指します。

確率変数は写像である

標本空間を $\Omega$ とします。確率変数 $X$ は、結果 $\omega$ を実数へ対応させる写像です。

$X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$

結果 $\omega$ が決まれば、$X(\omega)$ は値として決まります。

$P(X=3)$ は何の確率か

各記号や数式が何を意味するかを整理します。

• $X$：確率変数
• $X = 3$：$X$ が3になるという主張（命題）
• $\{X = 3\}$：その主張が成り立つ結果 $\omega$ の集まり（事象）
• $3$：ただの値（事象ではない）

$P(\cdot)$ が割り当てられるのは値そのものではなく事象です。厳密には、

$P(\{X = 3\})$

のように書きます。

ただし確率の文脈では $X = 3$ を「$\{X = 3\}$ という事象」の省略として使うことが多く、一般に

$P(X = 3)$

と書きます。この $P(X = 3)$ は、値「3」に確率をつけているのではなく、「$X$ の値が3になる」という事象の確率を表しています。

より丁寧には次を意味します。

$P(X = 3) = P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = 3\})$

$P(X)$ や $P(3)$ のような書き方はできない

$P(\cdot)$ の中に入れられるのは事象です。一方で、

• $X$ は確率変数であって事象ではない
• $3$ は値であって事象ではない

したがって、$P(3)$ や $P(X)$ といった書き方は一般にできません。

ただし、次のように「事象の形」にすれば確率として意味を持ちます。

$P(X \leq 3) = P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq 3\})$

$P(X \in A) = P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \in A\})$

確率が付くのは常に $\omega$ の集まり（事象）に対して である、という点がここでの核心です。

同じ結果から別の確率変数を作る

サイコロを1回振る試行を考えます。

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

各結果は等確率なので、

$P(\{\omega\}) = \dfrac{1}{6} \quad (\omega = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$

です。この標本空間 $\Omega$ 上で2つの確率変数を作ります。

確率変数 $X$：出た目（そのまま値にする）

$X(\omega) = \omega$

このとき $\{X = 3\} = \{3\}$ なので、

$P(X = 3) = P(\{3\}) = \dfrac{1}{6}$

同様に、

$P(X = x) = \dfrac{1}{6} \quad (x = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$

となります。

確率変数 $Y$：偶数なら1、奇数なら0（別の値に変換する）

• $\omega \in \{2, 4, 6\}$ のとき $Y(\omega) = 1$
• $\omega \in \{1, 3, 5\}$ のとき $Y(\omega) = 0$

このとき、

$\{Y = 1\} = \{2, 4, 6\}, \quad \{Y = 0\} = \{1, 3, 5\}$

なので、

$P(Y = 1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}, \quad P(Y = 0) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

となります。

同じ試行（同じ $\Omega$）でも、どのルールで値に変換するかを変えると、取り出す値も、その値が出る確率も変わります。 確率変数は「値」ではなく「結果を値に変換するルール」だ、という意味はここにあります。

まとめ

確率変数 は、結果 $\omega$ を 値 $X(\omega)$ に変換するルールです。 確率が付くのは値そのものではなく、$X(\omega) = x$ となる結果の集まり（事象）$\{\omega \mid X(\omega) = x\}$ であり、$P(X = x)$ はその事象の確率を省略して書いたものです。

同じ試行でも、変換のルールを変えれば、取り出す値やその確率は変わります。

「結果」「確率変数」「値」「事象」を区別して読めるようにすることが、確率の記号を正しく追うための土台になります。