確率分布

値がどう出るか、傾向を一覧にする

できるようになること

• 確率分布を表・式・グラフの3つの形で表現できる
• 確率分布が満たす2つの条件を確認できる
• 確率の合計が1にならないときの原因を3パターンで切り分けられる

平均が同じでも、感じ方が違う

次の3つのゲームから1つ選べるとします。

• ゲームA：確実に1,000円もらえる
• ゲームB：コインを投げて、表なら2,000円、裏なら0円
• ゲームC：サイコロを振って、1なら0円、2–5なら1,000円、6なら2,000円

あなたならどれを選びますか。

どのゲームも平均すると1,000円を獲得できます。

では、「どのゲームを選んでも同じだ」と感じるでしょうか。 そう感じる方もいるかもしれませんし、大きな差を感じる方もいるかもしれません。

差を感じる要因は、「どの金額が、どれくらいの確率で起こるか」が違うことにあります。

このどの値をどれくらいの確率でとるのか という対応関係を整理したものが確率分布（probability distribution）です。

確率分布を見ると、平均だけでは分からない出方の違い（ばらつきや極端な値の出やすさ）を比べられるようになります。

確率分布とは何か

確率変数 $X$ について、$X$ が取りうる値 $x$ と、その確率 $P(X=x)$ を対応づけたものを確率分布といいます。

例として、サイコロを1回振って出た目を $X$ とします。

この「値 $x$ と確率 $P(X=x)$ の対応」が確率分布です。

確率分布の表現方法（表・式・グラフ）

確率分布は、目的に応じて次の3つの方法で表します。

1. 表で表現する

値が少ないときは、先ほどのように表で一覧にすると見落としが減ります。

2. 式で表現する

規則性があるときは、式のほうがコンパクトです。先ほどのサイコロなら、

$P(X=x) = \dfrac{1}{6}, \quad x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

と書けます。

3. グラフで表現する

棒グラフ（横軸に $x$、縦軸に $P(X=x)$）にすると、どこに確率が集まっているかを視覚的に確認できます。

確率分布で比較する：3つのゲーム

導入の3つのゲームについて、受け取る金額を確率変数 $X$（単位：円）として確率分布を表で書きます。

ゲームA（確実に1,000円）

ゲームB（コイン投げ）

ゲームC（サイコロ）

平均はどれも1,000円です（例えばゲームBは 0×0.5 + 2,000×0.5 = 1,000 です）。

ただし、分布を見ると特徴は異なります。

• ゲームAは毎回1,000円で、結果が固定されます。
• ゲームBは0円か2,000円で、振れ幅が大きくなります。
• ゲームCは0/1,000/2,000が出ますが、Aほど固定ではなく、Bほど極端でもありません。

このように、平均だけでは見えない「ばらつき」 や 「極端な値の出やすさ」 は、確率分布を見てはじめて整理することができます。

確率分布が満たす2つの条件

確率分布は、必ず次の2つを満たします。

1つ目：すべての確率は0以上です。

$P(X=x) \geq 0$

2つ目：確率の合計は1です。

$\sum_x P(X=x) = 1$

この2つを確認すると、確率分布作りの間違いに気づきやすくなります。

よくあるミス：確率の合計が1にならない

例えば、次の表を見てみましょう。

このままだと合計が0.9で、確率分布としては不足しています。 こういうときは、次の3点を順に確認すると直しやすいです。

• 漏れ：取りうる値が他にもあるのに、表に入っていない。
• 二重計上：同じケースを別の値として数えてしまっている（分類が重なっている）。
• 丸め：小数の丸めで1からズレている（元の値をもう少し桁で持つ）。

原因が「丸め」だと分かっているなら、最後に合計が1になるよう調整します。

まとめ

確率分布 は、確率変数 $X$ が取りうる値 $x$ と、その確率 $P(X=x)$ を対応づけたものです。 表・式・グラフのいずれでも表せますが、目的に応じて使い分けます。

平均が同じでも、確率分布が違えば結果の出方は変わります。 確率分布を作ったら、$P(X=x) \geq 0$ と $\sum_x P(X=x) = 1$ の2点を確認してください。 合計が1にならないときは、いきなり正規化せず、漏れ・二重計上・丸めのどれが原因かを先に確認します。