加法定理

排反でないとき、どう足すか

できるようになること

• 加法定理の式を書いて、「A または B」の確率を計算できる
• 排反のときと排反でないときで計算方法を使い分けられる
• 加法定理を使う前に $P(A \cap B)$ が必要かどうかを判断できる

排反でないときはそのまま足せない

「排反と確率の足し算」の単元では、確率をそのまま足してよいのは排反のときだけ、という話をしました。 排反でないときにそのまま足すと、共通する部分が二重に数えられてしまうからです。

では、排反でないとき $P(A \cup B)$ はどう計算すればよいのでしょうか？

例題：排反でない「または」

A：「偶数が出る」、B：「3以下が出る」

という例を思い出してみましょう。$P(A)$、$P(B)$ はそれぞれ、

$P(A) = \dfrac{3}{6}, \quad P(B) = \dfrac{3}{6}$

と計算できます。ここで $P(A) + P(B)$ とすると、「2」が二重に数えられてしまいます。

$P(A \cup B)$ を正しく計算するには、二重に数えられている部分（共通部分）を引く必要があります。

加法定理

排反でないときの「または」は、共通部分を差し引いて計算します。 これを加法定理（addition rule）といいます。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

先ほどの例では $A \cap B = \{2\}$ なので、

$P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

と計算できます。

加法定理がなぜ成り立つのか

$A \cup B$ は次の3つの排反な部分に分けられます。

$A \cup B = (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \cup (A \cap B)$

これら3つは互いに排反なので、

$P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A \cap B)$

また $A$、$B$ はそれぞれ次のように分けられます。以上から、

$P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A \cap B)$

$= (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B)) + P(A \cap B)$

$= P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

が導かれます。

加法定理を使うときの確認ポイント

加法定理を使う場面では、$P(A)$ と $P(B)$ に加えて $P(A \cap B)$ が必要になります。

実務では、$P(A \cap B)$（両方が同時に起きる確率）を求めるデータや情報が手元にないことも多いです。

計算に進む前に次の点を確認してください。

• $A$ と $B$ は排反か？（排反なら $P(A \cap B) = 0$ なのでそのまま足せる）
• 排反でないなら、$P(A \cap B)$ を別途求められるか？

まとめ

排反と排反でない場合をまとめると、次のように整理できます。

• 排反（$A \cap B = \emptyset$）のとき：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• 排反でない（$A \cap B \neq \emptyset$）のとき：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

「A または B」の確率を求めるときは、まず排反かどうかを確認してから計算に入ることが大切です。 排反でない場合は $P(A \cap B)$ が追加で必要になります。