条件付き確率の意味

情報が与えられると、確率が変わる

できるようになること

• 条件付き確率の式を使って計算できる
• 「与えられた情報」によって分母が変わることを説明できる
• $P(A|B)$ と $P(B|A)$ の違いを説明できる

途中で情報が与えられる

まず、次の状況を考えてみます。

Q1. サイコロを1回振るとき、「2の目が出る確率」はいくつでしょうか？

では次です。サイコロを振った後で、「偶数が出た」 という情報が分かったとします。

Q2. このとき、「2の目が出る確率」はいくつでしょうか？

同じ「2の目が出る確率」でも、情報が与えられると答えが変わります。 この単元では、その理由を整理します。

情報が与えられると何が変わるか

Q1 と Q2 では、答えが変わります。 どちらも「2が出る確率」を聞いているのに、なぜ答えが変わるのでしょうか。

それは、確率を考えるときの「全体（分母）」が変わるためです。

Q1 は、結果の全体が、

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

です。一方で Q2 では「偶数が出た」という情報によって、全体が

$B = \{2, 4, 6\}$

に絞られています。このため、

$Q1: \dfrac{1}{6}, \quad Q2: \dfrac{1}{3}$

が答えとなります。

条件付き確率とは

A：「2の目が出る」、B：「偶数が出る」とします。

「偶数が出た」という情報が与えられた上で、「2の目が出る」確率を

$P(A \mid B)$

と書きます。これは、$B$ の中で $A$ も起きている部分（$A \cap B$）の割合を意味します。

この確率のことを、条件付き確率（conditional probability）といいます。

条件付き確率では、$\Omega$ 全体ではなく、$B$ を「新しい全体」として見直すのがポイントです。

条件付き確率の計算

等確率モデルでは、

• 分母：情報が与えられたことで残った結果の数（$|B|$）
• 分子：その中で $A$ も満たすものの数（$|A \cap B|$）

として、

$P(A \mid B) = \dfrac{|A \cap B|}{|B|} \quad (|B| > 0)$

と計算します。

等確率モデル以外でも使えるよう、より一般的な形で定義すると、

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$

となります。

乗法定理：積の確率を掛け算で計算する

条件付き確率の定義式の両辺に $P(B)$ を乗じると、

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$

が得られます。これを乗法定理と呼びます。

1. まず $B$ が起きる
2. その上で $A$ が起きる（$B$ が起きたという前提のもとで）

という順序で同時に起きる確率 $P(A \cap B)$ を計算することが、この式の意味するところです。

同じように、

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

と計算することもできます。

条件付き確率の具体例

サイコロを1回振ります。

$A = \{\text{2以下の目が出る}\} = \{1, 2\}$、$B = \{\text{偶数が出る}\} = \{2, 4, 6\}$ とします。

例1：「偶数が出た」という情報が与えられたとき「2以下の目が出る確率」

$P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}, \quad P(A \cap B) = P(\{2\}) = \dfrac{1}{6}$

なので、

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/6}{1/2} = \dfrac{1}{3}$

となります。

例2：「2以下の目が出た」という情報が与えられたとき「偶数が出る確率」

$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

なので、

$P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{1/6}{1/3} = \dfrac{1}{2}$

となります。

同じ $A \cap B$ の重なりを見ていても、与えられる条件（$\mid$ の右側）が変わると分母が変わるので、条件付き確率も変わります。つまり一般的には、

$P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$

となります。（たまたま一致することはあります。）

まとめ

情報（条件）が与えられると、確率を数えるときの全体（分母）が変わります。

$B$ が起きたという情報が与えられたとき、$A$ が起きる確率を条件付き確率といいます。

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$

また、両辺に $P(B)$ を乗じることで乗法定理が得られます。

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$

実務で条件付き確率を使うときの確認ポイントは2つです。

• 何が「与えられた情報」（$\mid$ の右側）で、何が「知りたいこと」（$\mid$ の左側）かを区別する
• $P(A \mid B)$ と $P(B \mid A)$ は一般に異なる。どちらを求めているかを明確にする