事象の演算（和・積・余）

事象を「足す」「重ねる」「ひっくり返す」

できるようになること

• 和事象・積事象・余事象を集合の記号で書き表せる
• 「または」「かつ」「〜でない」を集合の演算に対応させられる
• 標本空間を3つの演算で漏れなくダブりなく仕分けられる

まずは仕分けを考えてみる

サイコロを1回振ります。結果は、

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

です。ここで、2つの条件（事象）を用意します。

• $A$：偶数が出る
• $B$：3以下が出る

つまり、

$A = \{2, 4, 6\}, \quad B = \{1, 2, 3\}$

です。

問い：6つの結果を、次の4つに仕分けしてください。

• $A$ に入るが、$B$ に入らない
• $B$ に入るが、$A$ に入らない
• どちらにも入る
• どちらにも入らない

（紙に書いて仕分けても、頭の中で考えるだけでOKです）

ここでやっていることはシンプルです。条件を 足す（どちらかに入る）／重ねる（どちらにも入る）／ひっくり返す（〜には入らない） の3つに分けて整理しているだけです。

事象の3つの演算

先ほどの問いを考えるために、和事象・積事象・余事象の3つの演算についてみていきましょう。

和事象：足す（どちらかに入る）

「どちらかに入る結果」は、$A$ または $B$ のどちらかを満たす結果の集まりです。

$A \cup B$

これを和事象とよびます。日本語では「または」を用いて表現します。

今回の例では、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

です。（偶数か、3以下か、のどちらかに当てはまるもの）

積事象：重ねる（どちらにも入る）

「どちらにも入る結果」は、$A$ と $B$ の共通部分です。

$A \cap B$

これを積事象とよびます。日本語では「かつ」を用いて表現します。

今回の例では、

$A \cap B = \{2\}$

です。（偶数かつ3以下、のどちらにも当てはまるもの）

余事象：ひっくり返す（Aではない）

「$A$ ではない結果」は、標本空間 $\Omega$ から $A$ を除いたものです。

$A^{c}$

これを余事象とよびます。日本語では「〜でない」を用いて表現します。

今回の例では、

$A^{c} = \{1, 3, 5\}$

です。（偶数ではない＝奇数） また、$A^{c}$ は $\Omega \setminus A$ と表現することもあります。

言葉と集合の対応

ここで、言葉（日本語）と集合の対応を簡単にまとめておきます。

• 「または」（どちらか、あるいは両方）：$A \cup B$
• 「かつ」（両方同時に）：$A \cap B$
• 「A ではない」：$A^{c}$

先ほどの問いで整理

さっきの4つの仕分けは、式で書くとこうなっています。

• $A$ だけ：$A \cap B^{c} = \{4, 6\}$
• $B$ だけ：$A^{c} \cap B = \{1, 3\}$
• 両方：$A \cap B = \{2\}$
• どちらでもない：$A^{c} \cap B^{c} = \{5\}$

この4つは重ならず、全部を集めると $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ になります。 （起こりうる結果を漏れなくダブりなく仕分けた状態です）

まとめ

事象の演算には3つあります。

• 和事象（$A \cup B$）：「足す」＝どちらかに入る（または）
• 積事象（$A \cap B$）：「重ねる」＝どちらにも入る（かつ）
• 余事象（$A^{c}$）：「ひっくり返す」＝A ではない

この3つを組み合わせることで、標本空間を漏れなくダブりなく仕分けることができます。