事象

標本空間から「知りたいこと」を切り出す

できるようになること

• 事象を集合として書き表せる
• 「事象が起きた」の意味を標本点と集合の言葉で説明できる
• 根元事象・空事象・全事象の違いを説明できる

標本空間は「メニュー」、事象は「注文」

標本空間の単元で、「起こりうるすべての結果」を並べた標本空間について学びました。しかし、標本空間を作っただけでは確率は計算できません。次に必要なのは、標本空間から知りたいことを切り出すことです。

数学の世界では、この「知りたい結果の集まり」のことを事象（event）と呼びます。

たとえるなら、

• 標本空間：レストランの全メニュー（何が提供されうるか）
• 事象：あなたの注文（その中から、何を頼みたいか）

事象は標本空間の「部分集合」

少し数学的な表現をすると、事象は標本空間の部分集合と定義されます。 標本空間という大きな円の中にある「小さな円（部分集合）」が事象である、とイメージすると理解が深まります。

数学の言葉で表現する

ここまで標本空間・結果・事象という概念を学んできました。 これらの用語を数学的な表現で整理しておきます。

1. 標本空間

確率を考えるとき、まず「起こりうる結果を全部まとめたもの」を用意します。 これを標本空間といい、ふつう $\Omega$（大文字オメガ）で表します。

例：サイコロを1回振る

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

2. 標本点（1回の試行で実際に起きた「結果」）

標本空間 $\Omega$ の中の、1つ1つの要素（結果）を標本点といいます。 標本点はふつう $\omega$（小文字オメガ）で表します。

$\omega \in \Omega$

これは、$\omega$ が $\Omega$ の1つの要素であることを数学的に表現したものです。

例：サイコロを1回振って「3」が出た場合、$\omega = 3$ と表します。

3. 事象（起きてほしい条件の集合）

事象は、標本空間の中から「条件に合う結果だけ」を集めたものです。 標本点という言葉を使って表現すると、条件を満たす標本点の集合といえます。

事象 $A$ は標本空間 $\Omega$ の部分集合として表され、$A \subseteq \Omega$ と書きます。 これは、$A$ が $\Omega$ の部分集合であることを数学的に表現したものです。

例：サイコロを1回振って「偶数が出る」という事象は、

$A = \{2, 4, 6\}$

事象の例：条件を「集合」として書き換える

集合を使った表現に慣れるために、サイコロ1つ投げを題材に、いくつか事象の例を紹介します。

例1：「3以下が出る」

$A = \{1, 2, 3\}$

例2：「偶数が出る」

$B = \{2, 4, 6\}$

例3：「4以上が出る」

$C = \{4, 5, 6\}$

言葉のままだと曖昧になりやすい条件も、集合として書くことで「何を数えるか」がはっきりします。

「事象が起きる」とは何を意味するか

標本点 $\omega$ が実際に起きたとき、それが事象 $A$ の中に入っていれば「事象 $A$ が起きた」といいます（$\omega \in A$）。

例：事象 $A = \{2, 4, 6\}$（偶数）のとき、

• $\omega = 4$ が出た → $\omega \in A$ なので、偶数が出た（A が起きた）
• $\omega = 3$ が出た → $\omega \notin A$ なので、偶数が出なかった（A が起きなかった）

標本空間が変わると事象も変わる

事象は標本空間の部分集合なので、条件が同じでも標本空間が変わると事象の書き方も変わります。

「偶数の目が出る」という同じ条件でも、

例1：出た目をそのまま結果とする場合

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 事象 $A$（偶数が出る）$= \{2, 4, 6\}$

例2：偶数か奇数かを結果とする場合

$\Omega = \{\text{偶数}, \text{奇数}\}$ 事象 $A$（偶数が出る）$= \{\text{偶数}\}$

どんな $\Omega$ を採用するかで、事象 $A$ の書き方が変わります。

特別な事象

事象の中でも特別な名前がついているものを3つ紹介します。 （サイコロは1〜6の目が出る通常のものを想定しています。）

1. 根元事象

標本点1つからなる事象のこと。 例：サイコロを投げて1が出る。

2. 空事象

起こりえない事象のこと。記号 $\emptyset$ で書きます。 例：サイコロを投げて7が出る。

3. 全事象

試行の結果、必ずどれかが起こる事象のこと。標本空間そのものです。 例：サイコロを投げて「1〜6のいずれか」が出る。

まとめ

事象とは、標本空間から知りたい結果を切り取った集合（＝標本空間の部分集合）です。 言い換えると、条件を満たす結果の集まりともいえます。

事象が起きるとは、出た結果がその集合に入っていることを意味します。