平均とは何か

「中心」を表す最も代表的な指標を正しく理解する

できるようになること

• 平均の定義式を理解し、正しく計算できる
• 平均の重要な性質（合計との関係、線形性、偏差の和が0）を説明できる
• 平均の弱点（外れ値に弱い、ばらつきが分からない）を理解し、他の指標との使い分けができる

平均では分からないこと

「平均年収500万円」と聞いて、年収の分布をどのように想像しますか。

全員が450〜550万円の社会でしょうか。それとも、200万円の人が大半で、一部の高所得者が平均を引き上げている社会でしょうか。

平均だけでは、分布の形が見えません。

この単元では、平均が教えてくれることと、教えてくれないことを整理します。

平均とは何か

$n$個のデータ$x_1, x_2, \ldots, x_n$の平均（mean）（算術平均）は、次の式で計算します：

$\bar{x}$（エックスバー）と書きます。$\sum_{i=1}^{n}$は、$i$を1から$n$まで変えながら足し合わせることを表します。

平均は、合計を個数で等分した「1個あたり」の値です。結果として、データの中心的な位置を1つの値で表す代表値になります。

例：5人のテスト結果が60, 70, 75, 80, 90点のとき

期待値との違い

期待値の単元で、期待値とデータの平均の違いに触れました。簡単に振り返ります。

同じ仕組みで繰り返し観測できる状況では、データ数を増やすほどデータの平均は期待値に近づきやすくなります（大数の法則）。

平均の性質

1. 合計との関係

平均に個数を掛けると、合計に戻ります：

例：5人の平均が75点なら、合計は$5 \times 75 = 375$点です。

2. 定数の足し引き

すべてのデータ$x_i$に定数$a$を足した新しいデータを$y_i = x_i + a$とすると、その平均$\bar{y}$は：

例：全員に10点加点すると、平均も10点上がります。

3. 定数倍

すべてのデータ$x_i$を$a$倍した新しいデータを$z_i = a \cdot x_i$とすると、その平均$\bar{z}$は：

4. 偏差の和は0

各データと平均との差を偏差といいます。すべての偏差を足すと必ず0になります：

これは平均が「データの中心」であることを示す重要な性質です。

平均の弱点

平均は便利な代表値ですが、3つの弱点があります。

1. 外れ値の影響を強く受ける

例：5人の年収（万円）が200, 220, 250, 280, 5000のとき

5000万円という極端な値が平均を大きく増加させています。「1190万円が中心」と言われても、実態とはかけ離れています。

このように、外れ値があると平均は実態を表しにくくなります。

2. ばらつきが分からない

冒頭の例のように、同じ平均500万円でも：

• 全員が450〜550万円（ばらつき小）
• 200万円の人が大半で、一部が高所得（ばらつき大）

では全く違う分布です。平均だけではデータの散らばり具合が見えません。

3. 分布の形が分からない

平均は「中心の位置」は教えてくれますが、「分布の形」は教えてくれません。

• 左右対称か、右（左）に偏っているか
• 山が1つか複数か
• 裾が重いか（極端な値が出やすいか）

こうした情報は、平均だけでは分かりません。

平均の弱点を補うために

平均だけでは不十分な場合、他の指標と併用することで実態が見えやすくなります。

外れ値を含めて「全体の傾向」を知りたい場合（例：総売上を従業員数で割った平均売上）は、平均が適しています。

よくある誤解

まとめ

平均$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$は、データの中心的な位置を表す代表値です。

合計との関係や、定数の足し引き・定数倍といった性質を持ちます。また、偏差の和が0になることも重要な性質です。

ただし、平均には弱点があります。外れ値の影響を強く受け、ばらつきや分布の形は分かりません。

外れ値がある場合や分布が歪んでいる場合は、平均だけでなく中央値や分散も一緒に見ることが重要です。