中央値と代表値のズレ

外れ値に強い指標を知り、分布の「歪み」を読み解く

難易度 Lv 3 / 10想定時間：約20分

できるようになること

中央値と最頻値の定義を理解し、データから計算できる
外れ値が代表値に与える影響の違いを説明できる
平均・中央値・最頻値の関係から、分布の「歪み」を読み解ける

平均では見えなかった「真ん中」

平均の単元で、5人の年収（万円）が200, 220, 250, 280, 5000のとき、平均は1190万円になることを見ました。

では、この5人の「真ん中」はどこでしょうか。データを小さい順に並べると、3番目は250万円です。

これが中央値です。平均1190万円と中央値250万円、どちらが実態を表しているでしょうか。

この単元では、中央値をはじめとする他の代表値を学び、平均とのズレがなぜ生じるかを整理します。

中央値とは何か

代表値とは、データ全体を1つの数で要約するための値です。中央値は、その代表値の1つです。

中央値（median）は、データを小さい順に並べたときの順番的な真ん中の値です。

計算方法

データ数が奇数のとき：

真ん中の値をそのまま中央値とします。

例：5個のデータ 200, 220, 250, 280, 5000 の場合

並べると：200, 220, 250, 280, 5000

中央値 = 250万円

データ数が偶数のとき：

データ数を $n$ とすると、 $\frac{n}{2}$ 番目と $\frac{n}{2}+1$ 番目の値の平均を中央値とします。

例：6個のデータ 200, 220, 250, 280, 300, 5000 の場合

並べると：200, 220, 250, 280, 300, 5000

$\frac{6}{2}=3$ 番目と $4$ 番目の平均を取ります：

\text{中央値} = \frac{250 + 280}{2} = 265\text{万円}

※偶数個のときの中央値は、元のデータに含まれない値になることもあります（この例では265万円）。

最頻値とは何か

最頻値（モード）は、データの中で最も多く出現する値です。

例：10人のテスト結果が 60, 65, 70, 70, 70, 75, 80, 85, 90, 95 のとき

70点が3回出現しており最も多いので、最頻値 = 70点

最頻値の特徴

質的データ（カテゴリー：血液型、職種、好きな色など）では平均や中央値は定義しにくいので、最頻値が使えます。これは最頻値だけが持つ特徴です。

データによっては最頻値が複数あることもあります（例：70点と80点が両方3回出現）。

すべての値が1回ずつの場合、最頻値は「どれも同じ回数」なので代表値としては決めにくく、最頻値を使わないことが多いです。

3つの代表値の比較

	平均	中央値	最頻値
意味	合計を等分した値	順番的な真ん中	最も多く出現する値
計算	$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$	並べて真ん中を取る	出現回数を数える
外れ値の影響	強く受ける	受けにくい	受けにくい
使える場面	数値データ	数値データ（順序があればOK）	すべてのデータ

※ $\sum_{i=1}^{n} x_i$ は「すべてのデータの合計」を表します。

歪みと代表値のズレ

山が1つの左右対称な分布（正規分布など）では、平均・中央値・最頻値はほぼ一致します。

しかし、**分布が左右対称でない（右や左に偏る）**と、3つの代表値が同じ位置にならず、ずれます。

右に歪んだ分布（右裾が長い）

例：年収、資産、取引額など

右側に極端な値（外れ値）があると、平均がそちらに引っ張られます。

関係：最頻値 < 中央値 < 平均

年収の例（200, 220, 250, 280, 5000万円）では：

最頻値：なし（すべて1回ずつ）
中央値：250万円
平均：1190万円

平均が中央値より大きくずれています。

左に歪んだ分布（左裾が長い）

例：テストの点数（難しい試験で大半が低得点）、製品の不良率など

左側に極端な値があると、平均がそちらに引っ張られます。

関係：平均 < 中央値 < 最頻値

例：10人のテスト結果が 20, 30, 85, 90, 90, 90, 90, 95, 95, 100 のとき

平均：78.5点
中央値：90点
最頻値：90点

少数の低得点（20, 30）が平均を引き下げています。

どの代表値を使うとよいか

平均を使うとよい場面

外れ値がない、または外れ値も含めた「全体の傾向」を知りたい
左右対称な分布
合計との関係が重要（例：総売上 ÷ 従業員数）

中央値を使うとよい場面

外れ値がある
分布が歪んでいる
「半数以上がこの値以下」という情報が重要
年収、資産、不動産価格など

最頻値を使うとよい場面

質的データ（好きな色、職業など）
「最も多い値」を知りたい
在庫管理、品揃えの判断など

平均と中央値のズレで分布を読む

平均と中央値の関係から、分布の歪みを推測できます。

左右対称な分布：平均と中央値がほぼ一致

右に歪んだ分布：平均が中央値より大きい

左に歪んだ分布：平均が中央値より小さい

関係	分布の形
平均 ≈ 中央値	左右対称
平均 > 中央値	右に歪んでいる（高い値に引っ張られている）
平均 < 中央値	左に歪んでいる（低い値に引っ張られている）

例：「平均年収450万円、中央値380万円」というデータなら、平均 > 中央値なので、「右に歪んでいる（一部の高所得者が平均を引き上げている）」と推測できます。

よくある誤解

注意

誤解：平均は「真ん中の人」を表す — 外れ値が少数でも大きいと、平均は簡単に引き上げられます。真ん中の人（順位の中央）を知りたいなら中央値のほうが合っています。年収の例では、5人中4人は平均（1190万円）より大幅に低い年収です。平均は「典型的な人」を表しているわけではありません。

まとめ

中央値は、データを並べたときの順番的な真ん中の値です。最頻値は最も多く出現する値です。

平均・中央値・最頻値は、山が1つの左右対称な分布なら一致しますが、歪んでいるとずれます。

外れ値がある場合や分布が歪んでいる場合は、中央値の方が実態を表すことが多くあります。

平均と中央値の関係を見ることで、分布の歪みを推測できます。