分散・標準偏差の意味

平均だけでは分からないデータの「ばらつき」を数値にする

難易度 Lv 3 / 10想定時間：約20分

できるようになること

分散と標準偏差の定義を説明し、手計算で求めることができる
分散と標準偏差の違い（単位・解釈のしやすさ）を説明できる
確率分布の分散（理論）とデータの分散（現実）の違いを説明できる

平均だけでは分からない「散らばり」

2つのクラスのテスト平均がどちらも70点でした。

クラスA：60, 65, 70, 75, 80点クラスB：40, 50, 70, 90, 100点

同じ平均70点でも、全く違う様子です。クラスAは平均付近に集まっていますが、クラスBは大きく散らばっています。

この「ばらつき」を数値で表すのが分散（variance）と標準偏差（standard deviation）です。

データの分散とは何か

$n$ 個のデータ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ があり、その平均を $\bar{x}$ とします。

分散は、各データと平均との差（平均との差を偏差といいます）の2乗の平均です：

s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

$s^2$ （エス2乗）と書きます。

ポイント

ここでは「手元のデータのばらつき」を表すために $\frac{1}{n}$ を使います。母分散を推定する目的では $\frac{1}{n-1}$ を使う（不偏分散）ことがあり、推論統計の単元で扱います。

計算例：クラスAとクラスB

クラスA：60, 65, 70, 75, 80点（平均70点）

s^2 = \frac{(60-70)^2 + (65-70)^2 + (70-70)^2 + (75-70)^2 + (80-70)^2}{5}

= \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = \frac{250}{5} = 50

クラスB：40, 50, 70, 90, 100点（平均70点）

s^2 = \frac{(40-70)^2 + (50-70)^2 + (70-70)^2 + (90-70)^2 + (100-70)^2}{5}

= \frac{900 + 400 + 0 + 400 + 900}{5} = \frac{2600}{5} = 520

クラスBの分散（520）はクラスAの分散（50）より大きく、ばらつきが大きいことが数値で確認できます。

標準偏差とは何か

分散には1つ問題があります。2乗しているため、元のデータと単位が変わってしまいます。

テストの点数の単位は「点」ですが、分散の単位は「点²」になります。これでは直感的に解釈しにくい。

そこで分散の平方根を取り、単位を元に戻したものが標準偏差です：

s = \sqrt{s^2}

クラスA： $s = \sqrt{50} \approx 7.1 \text{点}$

クラスB： $s = \sqrt{520} \approx 22.8 \text{点}$

標準偏差なら、元のデータと同じ単位（点）で「平均からどれくらいばらついているか」を表せます。

標準偏差の解釈

標準偏差は「データが平均からどれくらい離れているかの目安」です。

標準偏差が小さい → データが平均付近に集まっている
標準偏差が大きい → データが平均から広くばらついている

クラスAの標準偏差7.1点は「平均との差の大きさの目安が約7点」、クラスBの標準偏差22.8点は「平均との差の大きさの目安が約23点」という意味です。

確率分布の分散・標準偏差との違い

確率分布の分野でも分散と標準偏差が登場します。どちらも「ばらつき」を扱いますが、何のばらつきを対象にしているかが違います。

確率分布では、平均を $\mu$ 、分散を $\sigma^2$ 、標準偏差を $\sigma$ と書くことが多いです。また $V[X]$ は確率変数 $X$ の分散を表す記号です。

確率分布の分散：

「この分布から値を取り出したら、どれくらいばらつくか」という理論上のばらつき
例：サイコロを振ったとき、出る目は理論的にどれくらいばらつくか

データの分散：

「手元のデータが実際にどれくらいばらついているか」という観測されたばらつき
例：10回サイコロを振った結果が、実際にどれくらいばらついていたか

	確率分布の分散	データの分散
対象	確率分布（理論）	手元のデータ（現実）
記号	$\sigma^2, V[X]$	$s^2$
計算	$\sum (x-\mu)^2 \cdot P(X=x)$	$\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$
意味	理論上のばらつき	観測されたばらつき
例	サイコロの期待値からのばらつき	10回振った結果のばらつき

同じ「ばらつき」という概念を、理論（確率分布）とデータ（観測値）という異なる対象に適用していると考えると分かりやすいです。

分散・標準偏差の性質

1. すべて同じ値なら分散は0

すべてのデータが同じ値なら、ばらつきはないので分散は0です。例：5人全員が70点 → $s^2 = 0$

2. 定数を足しても分散は変わらない

すべてのデータに同じ値を足しても、ばらつき具合は変わりません。全員に10点加点しても、分散・標準偏差は変わりません。

3. 定数倍すると分散は2乗倍

すべてのデータを $a$ 倍すると、分散は $a^2$ 倍、標準偏差は $a$ 倍になります。

範囲との違い

ばらつきを表す指標として、範囲（最大値 − 最小値）もあります。

クラスAの範囲： $80 - 60 = 20$ 点
クラスBの範囲： $100 - 40 = 60$ 点

範囲は計算が簡単ですが、最大値・最小値だけで決まるという弱点があります。一方、標準偏差は全データを使う指標です。ただし、極端に大きい（小さい）値（外れ値）があると標準偏差も大きくなりやすい点には注意が必要です。

分散と標準偏差、どちらを使うか

分散：

式変形で扱いやすい（平均との差を2乗して足す形なので、理論や計算上都合が良い）
統計的な推測（検定など）の計算過程でよく使われる

標準偏差：

単位が元に戻るので、データのスケール感を説明しやすい
実務で「ばらつきの大きさ」を直感的に伝えるときに適している

一般的には、実務では標準偏差を使い、理論計算では分散を使うことが多いです。

まとめ

分散 $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ は、データのばらつきを表す指標です。

標準偏差 $s = \sqrt{s^2}$ は、分散の平方根で、元のデータと同じ単位で解釈できます。

確率分布の分散（理論）とデータの分散（現実）は、どちらもばらつきを扱いますが、何のばらつきを対象にしているかが違います。

標準偏差は「平均からどれくらい離れているかの目安」として、実務でよく使われます。