離散分布

取りうる値が「数え上げられる」確率変数を扱う

できるようになること

• 確率変数が離散型かどうかを2ステップで判定できる
• 確率質量関数の定義と2つの性質を説明できる
• 確率質量関数と分布関数の関係を使って相互に変換できる

離散型か、連続型か

次の3つの確率変数は、離散型でしょうか、連続型でしょうか。

• サイコロの目：1, 2, 3, 4, 5, 6
• 来店客数（1日）：0人, 1人, 2人, ...
• 身長：170.5cm も 171.2cm も可能

1つ目と2つ目は離散型です。どちらも「中間の値」を取りません（1.5人は存在しません）。 3つ目について、身長という量そのものは連続型です。区間の中のどの値も取りうる、と考えます。

ただし、3つ目については何を確率変数としているかで、離散型にも連続型にもなります。 たとえば「1cm単位で記録した身長（170, 171, 172, …）」を確率変数にするなら離散型です。一方で「実際の身長」を確率変数にするなら連続型になります。

実務では、観測できるのは丸め後の記録値であることも多いので、この違いを理解しておくことは重要になります。

この単元では、離散型の判定基準と、離散型の確率分布の表し方を整理します。

離散型確率変数とは何か

確率変数 $X$ が離散型（discrete）であるとは、$X$ が取りうる値を $x_1, x_2, x_3, \ldots$ のように「順番に並べて数え上げられる」ということです。

取りうる値の個数は、有限個の場合もあれば、無限個の場合もあります。

• 有限個の例：サイコロの目 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• 無限個（可算無限個）の例：来店客数 $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$

可算無限個とは、「無限にあるが、1番目、2番目、3番目…と番号を付けて数え上げられる」個数のことです。 離散型では、取りうる値が点として並び、その間の値（例：1と2の間の1.5）は取りません。

離散型かどうかの判定

離散型かどうかを判定するときは、次の2点を順に確認します。

1. その量は「中間の値」を取りうるか

• 人数、回数、個数など：中間の値を取らない → 離散型
• 時間、長さ、重さなど：中間の値も取りうる → 連続型になりやすい（2もチェックする）

2. 何を確率変数としているか（実際の値か、記録された値か）

• 記録値を確率変数にするなら、値が整数などに限られる → 離散型として扱う
• 実際の値を確率変数にするなら、区間の中の値を取りうる → 連続型として扱う

離散型の確率分布：確率質量関数

離散型の確率分布を表す代表的な方法が、確率質量関数です。 $p(x)$ で表し、次で定義します。

$p(x) = P(X = x)$

ここで大事なのは、離散型では確率が「区間」ではなく「点（特定の値）」に割り当てられる、という点です。

例として、サイコロを1回振って出た目を $X$ とします。このときの $p(x)$ は次のとおりです。

確率質量関数の性質

確率質量関数は、必ず次の2つの性質を満たします。

1. すべての値で0以上

$p(x) \geq 0$

サイコロの例では、次のように確認できます。

$p(x) = \dfrac{1}{6} \geq 0 \quad (x = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$

2. 取りうる値について足し合わせると1

$\sum_{\text{取りうるすべての } x} p(x) = 1$

サイコロの例では、次のように確認できます。

$\sum_{x=1}^{6} p(x) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \cdots + \dfrac{1}{6} = 1$

確率質量関数と分布関数の関係

分布関数は $F(x) = P(X \leq x)$ で定義されます。 離散型では、$x$ 以下の点の確率を足し合わせることで $F(x)$ を作れます。

$F(x) = \sum_{t \leq x} p(t)$

サイコロの例で $F(3)$ を求めると、

$F(3) = p(1) + p(2) + p(3) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}$

分布関数から確率質量関数を求める

$X$ が整数値を取るタイプなら、次が使えます。

$p(k) = F(k) - F(k-1)$

サイコロなら、$p(3) = F(3) - F(2)$ です。

$p(3) = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}$

また、取りうる値が $x_1 < x_2 < x_3 < \cdots$ のように並べられる場合は、「直前の値までの累積」を引いて求めます。

$p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1}) \quad (i \geq 2), \qquad p(x_1) = F(x_1)$

まとめ

離散型確率変数とは、取りうる値を順番に数え上げられる確率変数です。 離散型の確率分布は、確率質量関数 $p(x) = P(X=x)$ で表します。

確率質量関数は $p(x) \geq 0$ と $\sum p(x) = 1$ を満たします。 分布関数 $F(x) = P(X \leq x)$ とは役割が異なります。

• 確率質量関数：「点」の確率（ちょうどその値になる確率）
• 分布関数：「以下」の確率（その値以下になる確率の累積）

離散型では $F(x) = \sum_{t \leq x} p(t)$ でつながっています。 判定に迷うときは、「中間の値を取るか」「実際の値か記録値か」の2点を順に確認してください。