期待値

確率分布から「平均的な値」を1つにまとめる

できるようになること

• 期待値の定義式を使って確率分布から期待値を計算できる
• $E[aX + b] = aE[X] + b$ と $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ を使って計算を整理できる
• 期待値とデータの平均の違いを説明できる

確率で重みづけする

確率分布があると、「平均的にどれぐらいの値になりそうか」を1つの数で表したくなります。

サイコロを1回振って出た目を確率変数 $X$ とすると、確率分布は次のとおりです。

この分布ではどの目も同じ確率なので、値を足して個数で割る計算でも「平均的な値」が出ます。

$\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$

一方で、確率が均等ではない場合はどうでしょうか。次の分布を考えます。

このとき、値を足して個数で割るだけだと、各値の出やすさの違いが反映されません。

この違いを反映するためには、各値を確率で重みづけ する必要があります。 つまり、各値に確率を掛けて足し合わせます。これが期待値（expected value）の考え方です。

$1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{3} + 3 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{3} \approx 1.67$

期待値の定義

離散型確率変数 $X$ の期待値は、次で定義されます。

$E[X] = \sum_{\text{すべての } x} x \cdot P(X=x)$

連続型の場合は、和（$\sum$）が積分（$\int$）に置き換わります。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$

ここで $f(x)$ は確率密度関数です。積分や連続型の詳しい説明は連続分布の単元で扱います。

どちらも「値×その値の起こりやすさを足し合わせる」 という考え方は同じです。

期待値の意味（長期的な平均）

期待値は、同じ試行を何度も繰り返したときの平均に対応します。

サイコロをたくさん振り続けると、出た目の平均は 3.5 に近づいていきます。 これは大数の法則として知られています。

期待値は 「1回の結果」ではありません。 サイコロでは 3.5 という目は出ませんが、たくさん振ったときの平均は 3.5 に近づきます。

計算例（支払額の平均）

ある契約の支払額（万円）を確率変数 $X$ で表します。 「支払なしが多いが、まれに大きく支払う」ような分布だとします。

$E[X] = 0 \times 0.90 + 100 \times 0.08 + 500 \times 0.02 = 18 \text{（万円）}$

この例では「平均すると18万円の支払いが発生する」となります。

期待値には単位が付きます。ここでは $X$ が「万円」なので、$E[X]$ も「万円」です。

期待値の性質（よく使う2つ）

1. 定数倍と平行移動

$a$、$b$ を定数とすると、次が成り立ちます。

$E[aX + b] = aE[X] + b$

例えば $E[X] = 3.5$ なら、$E[2X+1] = 2 \times 3.5 + 1 = 8$ です。 「値を2倍して1を足す」操作は、期待値にも同じように反映されます。

2. 線形性（和の期待値）

$X$ と $Y$ が確率変数のとき、独立である必要はなく、次が成り立ちます。

$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$

例として、サイコロを2回振り1回目を $X$、2回目を $Y$ とすると、$E[X+Y] = 3.5 + 3.5 = 7$ となります。

期待値とデータの平均の違い

期待値とデータの平均は似た概念ですが、計算の対象と計算方法が異なります。

まとめ

期待値 $E[X]$ は、確率分布から計算する「確率で重み付けした平均」 です。 同じ試行を繰り返したときの平均に対応しますが、1回の結果そのものを指すわけではありません。

よく使う2つの性質を確認してください。

$E[aX + b] = aE[X] + b$

$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$

これらの性質により、計算を分解・整理できる場面が多くあります。 また、期待値には単位が付くことにも注意してください。